相关分析（Pearson / Spearman）

本模型一次分析会同时输出「Pearson 相关分析」与「Spearman 等级相关分析」两部分结果，下面分别说明。

1. Pearson 相关分析

方法概述

（1）Pearson 相关分析用于衡量两个数值变量之间线性关系的方向和强度。它回答的是：当一个变量取值较高或较低时，另一个变量是否也倾向于同步变化。

（2）Pearson 相关适合连续变量、近似连续的量表得分，或多个问卷维度得分之间的初步关系分析。相关系数的范围为 -1 到 1：正值表示同向变化，负值表示反向变化，绝对值越大表示线性关系越强。

（3）Pearson 相关不是回归，也不是因果分析。相关显著只能说明样本中存在统计上的线性关联，不能说明一个变量导致另一个变量变化。

适用问题与不适用问题

适用问题

Pearson 相关可以用于初步研究：

• 服务质量与满意度是否呈线性关联；
• 学习投入与成绩是否呈线性关联；
• 不同问卷维度得分之间是否有关联；
• 回归分析前自变量和因变量的基础关系；
• 多个连续变量之间是否存在高度相关。

不适用或需要谨慎的情况

以下情况不能直接把 Pearson 结果当作可靠结论：

• 变量是无序类别，如性别、专业或地区名称；
• 用 1、2、3 代表类别，却把类别代码当作连续距离；
• 变量之间是明显弯曲、U 型或倒 U 型关系；
• 存在严重异常值；
• 某个变量几乎没有变化；
• 有效样本量太小；
• 特殊缺失编码仍被当作有效数值。

两个分类变量的关联应考虑卡方检验；等级变量、非正态变量或只满足单调关系时，可考虑 Spearman 等级相关。

数据结构和输入要求

数据应按“每行一个观测、每列一个变量”整理。例如：

服务质量、满意度和使用意愿可以作为数值变量；性别是分类变量，不应直接参与 Pearson 相关。

如果使用问卷数据，建议：

1. 先检查反向题并统一计分方向；
2. 明确每道题属于哪个维度；
3. 在需要时计算维度得分；
4. 将性别、地区、专业、编号等列标记为分类或识别变量；
5. 处理 99、999、-1 等特殊缺失编码。

相关分析至少需要两个有变异的数值变量。变量过多时，建议按研究问题或理论维度分组，不要把所有列无目的地放在同一张相关矩阵中。

分析流程

如果变量存在缺失，不同变量对可能使用不同的有效样本量。报告相关结果时应同时关注每一对变量的有效样本量。

Pearson 相关系数公式

设两个变量 X 和 Y 有 n 对有效观测：

均值

协方差和标准差

样本协方差为：

样本标准差分别为：

Pearson 相关系数

Pearson 样本相关系数为：

等价形式为：

其取值范围为：

如果任一变量的标准差为 0，相关系数没有定义，不能把这种情况写成“没有相关”。

显著性检验

假设

双侧检验通常设为：

其中 \rho 是总体相关系数，r 是样本相关系数。

t 统计量和 p 值

当有效配对样本量为 n，且 |r|<1 时：

自由度为：

双侧 p 值为 t 分布两侧尾部概率：

通常把 p<0.05 作为统计显著的参考，但显著性水平应在研究设计中事先确定。

显著性星号

常见标记方式为：

星号只表示统计检验阈值，不表示相关强度。报告时应同时给出 r、p 和有效样本量。

缺失值和有效样本量

对每一对变量 X,Y，只保留二者同时有有效值的观测：

有效配对样本量为：

例如，A 与 B 可能有 180 对有效观测，A 与 C 可能只有 172 对。不同相关系数的样本基础不完全相同时，不能不加说明地把它们当成同一批完整样本的结果。

分析前应：

• 区分真正缺失和有效的 0 分；
• 处理 99、999、-1 等特殊编码；
• 检查缺失是否集中在某些题项或人群；
• 查看每对变量的有效样本量；
• 不根据一个固定缺失比例自动决定删除或填补。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：相关矩阵、相关显著性、显著性标记、Spearman相关、Spearman显著性、Spearman显著标记、描述性统计、缺失值报告。

示例（来自系统结果包，示例数据）。

相关矩阵表：

相关矩阵

相关矩阵以变量为行和列，单元格为 r：

• 对角线通常为 1；
• 上下三角通常对称；
• 正值和负值表示不同方向；
• 空白可能表示共同有效观测不足、常量列或无法计算；
• 精确数值应以相关系数表为准。

显著性表

显著性表给出每一对变量的双侧 p 值。p 值不是相关系数，也不是关系强度。带星号的矩阵便于快速查看，但正式整理时应保留相关系数和 p 值两个结果。

相关热力图

热力图用颜色表示相关方向和强度，适合快速寻找高度相关的变量对。图形不能替代数值表，也不能仅凭颜色判断统计显著性。

简要结果说明

结果说明可以写成：

Pearson 相关分析显示，服务质量与使用意愿呈中等程度正相关（r=0.463，p<0.01，n=320）。这表示在本样本中，服务质量得分较高的记录通常也具有较高的使用意愿得分。

其中 n 应替换为该变量对的实际有效样本量。

如何解释相关系数

方向

• r>0：X 较高时，Y 通常也倾向较高；
• r<0：X 较高时，Y 通常倾向较低；
• r\approx0：没有明显线性同步变化，但可能存在非线性关系。

方向必须结合变量编码解释。反向题未处理时，方向可能与理论预期相反。

强度

以下区间只能作为初步阅读参考：

强度还受测量可靠性、变量范围、研究领域和样本设计影响，不能机械套用。

显著性和实际意义

样本量很大时，较小的相关也可能显著；样本量较小时，中等相关也可能不显著。因此应同时报告 r、p、有效样本量和研究背景。

相关不是因果

相关分析不能直接说明：

• X 导致 Y；
• Y 导致 X；
• X 和 Y 之间存在单向影响；
• 控制其他变量后关系仍然成立；
• 关系可以推广到所有人群。

相关可能来自第三个变量、样本选择、共同测量方法、极端值或变量编码错误。如果研究问题是“X 是否预测 Y”，应考虑回归模型；如果研究问题是机制路径，应考虑中介、调节或结构模型。

有真实数据时的使用步骤

1. 明确要分析的变量关系和理论方向。
2. 选择连续变量、量表维度得分或适合近似连续处理的变量。
3. 检查分类编码、反向题、特殊缺失和异常值。
4. 准备数据，必要时提供问卷编码表。
5. 确认参与分析的列名和变量含义。
6. 查看描述性统计和缺失情况。
7. 阅读相关矩阵、p 值、显著性标记和热力图。
8. 在结果中同时报告相关系数、p 值和有效样本量。

常见问题

为什么相关矩阵没有结果？

可能只有一个可用数值变量、有效配对样本不足、变量几乎全部缺失、变量为常量列，或分类变量被正确排除。应先检查数据结构和变量类型。

为什么矩阵中有空白？

可能是两个变量的共同有效观测不足、其中一个变量没有变异或特殊字符被识别为缺失。空白不等于相关系数为 0。

为什么性别等变量进入相关矩阵？

数字编码的分类变量不应直接作为连续变量解释。应检查变量类型和编码表，必要时将其改为分类变量或从相关分析中排除。

为什么相关很高但不显著？

有效样本量可能较小，或该变量对的共同有效观测太少。应同时查看 r、p 和 n。

为什么 Pearson 和 Spearman 结果不同？

Pearson 分析原始数值的线性关系，Spearman 先将数值转换为秩后分析单调关系。异常值、非正态、等级变量和非线性关系都可能造成差异。应依据数据类型和研究问题选择，而不是挑选更符合预期的结果。

结果表述边界

可以表述：

在本样本中，服务质量与使用意愿呈中等程度正相关，且相关检验达到统计显著。这说明两者存在同向线性关联。

不应仅凭 Pearson 相关表述：

服务质量显著影响使用意愿。

与其他模型的关系

2. Spearman 等级相关分析

方法概述

（1）Spearman 等级相关分析用于衡量两个变量之间单调关系的方向和强度。它不要求变量之间必须是严格直线关系，而是考察：当一个变量的取值或等级总体上升时，另一个变量是否也总体上升或下降。

（2）Spearman 相关系数通常记为 \rho 或 r_s。它先把原始数值转换为秩次，再对秩次进行 Pearson 相关计算。因此，变量的原始单位不会直接影响结果，异常值的影响通常也比 Pearson 相关小一些。

（3）它适合等级数据、问卷等级题、明显偏态的数值数据，以及关系大致单调但不一定是直线的情况。Spearman 相关仍然只是关联分析，不能证明一个变量导致另一个变量变化。

适用问题与不适用问题

适用问题

Spearman 相关可以用于：

• 两个有序等级变量之间的关系；
• 单题 Likert 等级题之间的关系；
• 数据明显偏态但仍具有单调趋势；
• 数据中存在少量极端值，担心 Pearson 相关过度受影响；
• 研究问题只关心“总体上升或下降”，不要求关系为直线；
• 样本量较小但变量至少具有合理的排序信息。

例如：

• 服务评价等级与再次购买意愿等级是否同向；
• 学习投入排名与成绩排名是否相关；
• 等待时间等级与满意度等级是否反向相关；
• 两个问卷维度的等级得分是否呈单调关系。

不适用或需要谨慎的情况

以下情况不宜直接使用 Spearman 相关：

• 变量是没有顺序的类别，例如专业名称、地区名称；
• 类别编码的数字没有大小关系；
• 样本中某个变量几乎所有值都相同；
• 两个变量没有来自同一批观测对象；
• 数据中存在大量并列值，且可区分的等级非常少；
• 研究问题要求解释原始单位的线性变化；
• 研究问题实际上是比较组均值、预测二分类结果或检验中介机制。

无序分类变量的关联通常考虑卡方检验；连续变量的线性关系可以考虑 Pearson 相关；预测问题需要回归模型；因果或机制问题需要与研究设计相匹配的模型。

Pearson 与 Spearman 如何选择

选择方法时应根据变量性质和研究问题，而不是选择更容易得到显著结果的方法。同一批数据同时报告两种方法时，应说明两种方法的使用理由。

数据结构和输入要求

数据应按“每行一个观测、每列一个变量”整理。例如：

准备数据时应注意：

1. 每行代表同一个受访者、实验单位或观测对象。
2. 每列代表一个有明确顺序的变量。
3. 1、2、3、4、5 必须有明确的等级含义，不能只是无序类别的代码。
4. 缺失值、拒答和“不适用”应与有效等级区分。
5. 如果是问卷题，应确认反向题是否需要先统一方向。
6. 如果使用多个题项形成维度得分，应在计算维度得分前明确题项归属和计分方向。

Spearman 相关至少需要两个有变异的变量。样本过少、变量几乎全为同一个等级或两列没有共同有效观测时，相关系数可能无法稳定计算。

分析流程

Spearman 相关考察的是排序是否一致。即使原始数值之间的差距不相等，只要排序大致一致，仍可能得到较高的等级相关。

秩次转换

没有并列值时

设变量 X 有 n 个观测。将观测从小到大排序后，最小值的秩为 1，最大值的秩为 n。记第 i 个观测的秩为 R_i。

例如，原始数据为：

如果另一个变量 Y 的秩为 S_i，Spearman 相关就是 R_i 与 S_i 的 Pearson 相关。

存在并列值时

如果多个观测的原始值相同，它们获得平均秩。例如，排序后某个值占据第 2、3、4 位，则三个相同值都使用：

作为秩次。

这种方法保留了并列值的共同位置，适用于问卷中大量受访者选择相同等级的情况。

反向题和秩次方向

如果一个题项分数越高表示态度越差，而另一个变量分数越高表示态度越好，需要在分析前统一方向。否则，原本同向的关系可能被计算成负向，或原本负向的关系被抵消。

对于量表最小值 L、最大值 U 的反向题，可以使用：

反向计分不是为了改变结果方向来追求显著，而是为了让同一构念的分数方向具有一致含义。

Spearman 相关系数公式

设 X 和 Y 有 n 对共同有效观测，分别转换为秩次 R_i 和 S_i。

一般公式：秩次的 Pearson 相关

最一般的定义是：

其中：

• R_i：第 i 个观测在变量 X 中的秩；
• S_i：第 i 个观测在变量 Y 中的秩；
• \bar{R}：秩 R_i 的平均值；
• \bar{S}：秩 S_i 的平均值。

存在并列值时，应使用平均秩，并采用这个一般公式。

无并列值时的简化公式

当两个变量都没有并列秩时，令：

Spearman 相关可以写为：

如果存在并列值，不应机械使用这个简化式，而应使用平均秩后的 Pearson 相关公式。

取值范围和含义

• r_s>0：两个变量总体上同向排序；
• r_s<0：一个变量排名较高时，另一个变量总体上排名较低；
• r_s\approx0：没有明显的单调关系。

接近 0 只表示没有明显单调关系，并不能排除 U 型、倒 U 型等非单调关系。

显著性检验

假设

双侧检验通常设为：

其中 \rho_s 是总体 Spearman 等级相关系数，r_s 是样本等级相关系数。

t 近似

在样本量满足近似条件时，可以使用：

自由度为：

双侧 p 值为：

小样本、并列秩很多或研究需要精确推断时，可以考虑置换检验或精确方法，并在方法部分说明。

显著性标记

常见标记方式为：

星号只表示统计显著性，不表示等级关系的强度或实际重要性。

缺失值和有效样本量

对于变量 X 与 Y，只使用二者同时有有效值的观测：

有效样本量为：

当多个变量两两计算等级相关时，不同变量对的 n 可能不同。结果表应尽量同时提供每一对变量的有效样本量，至少在结果说明中交代样本基础。

分析前应检查：

• 空白、拒答和不适用是否被正确识别；
• 99、999、-1 等编码是否为缺失；
• 有效等级是否确实具有顺序；
• 某个等级是否占绝大多数；
• 缺失是否集中在特定题项或人群。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：Spearman相关、Spearman显著性、Spearman显著标记；同时输出 相关矩阵、相关显著性、显著性标记。

等级相关矩阵

矩阵中的单元格为 r_s：

• 对角线通常为 1；
• 上下三角通常对称；
• 正值表示同向排序，负值表示反向排序；
• 空白可能表示共同有效样本不足、无变异或无法形成秩次；
• 精确数值应结合显著性表和有效样本量阅读。

显著性表

显著性表给出每一对变量的双侧 p 值。p 值不表示相关强度，不能单独用“显著”替代对 r_s 大小的说明。

热力图

等级相关热力图可以快速展示变量之间的正负方向和相对强弱。热力图适合发现模式，不替代表格中的系数、p 值和有效样本量。

结果说明示例

可以写：

Spearman 等级相关分析显示，服务评价等级与再次购买意愿等级呈中等程度正相关（r_s=0.421，p<0.01，n=280）。这表示在本样本中，服务评价等级较高的观测通常也具有较高的再次购买意愿等级。

如果关系不显著，可以写：

服务评价等级与再次购买意愿等级的等级相关系数为 r_s=0.121，未达到预先设定的显著性水平，当前样本不足以支持存在明确单调关系的判断。

如何解释等级相关强度

以下区间只用于初步阅读：

不同研究领域的判断标准可能不同。关系强度还应结合量表可靠性、样本量、并列等级数量和研究背景解释。

有真实数据时的使用步骤

1. 明确两个变量是否具有明确的顺序关系。
2. 选择等级变量、偏态变量或单调关系变量。
3. 检查反向题、特殊缺失和无序类别编码。
4. 准备数据，必要时提供题项和维度说明。
5. 确认变量的方向和有效等级。
6. 查看描述性统计、频数分布和缺失情况。
7. 阅读等级相关系数、p 值、有效样本量和热力图。
8. 同时报告 r_s、p 值和有效样本量，不把等级相关写成因果关系。

常见问题

为什么等级相关没有结果？

可能只有一个可用变量、共同有效观测过少、变量全部相同、变量没有明确排序，或有效值在转换后几乎全部缺失。

为什么相关系数接近 0？

可能没有单调关系，也可能存在 U 型、倒 U 型等非单调关系。建议结合散点图、分组图或理论判断，不要把 r_s\approx0 写成“两个变量完全没有关系”。

并列等级很多会有什么影响？

并列值会降低可区分的排序信息，可能影响系数大小和显著性。应报告变量的等级分布，并谨慎解释只有少数几个等级的结果。

为什么 Pearson 和 Spearman 结果不同？

Pearson 使用原始数值并关注直线关系，Spearman 使用秩次并关注单调关系。异常值、偏态、等级变量和非线性都会造成差异。两者不同不代表其中一个必然错误。

数字编码的性别可以做 Spearman 吗？

如果 1 和 2 只是男、女的无序标签，就不能把它们当成等级变量。只有变量类别本身具有明确顺序时，才适合做等级相关。

结果表述边界

可以表述：

在本样本中，两个变量呈显著正向单调关联，即一个变量的等级较高时，另一个变量的等级通常也较高。

不应仅凭 Spearman 相关表述：

X 显著影响 Y。

等级相关不提供方向性因果证据，也不能替代回归、实验设计或纵向分析。

与其他模型的关系