配对比较 · 006

配对样本 t 检验与 Wilcoxon

比较同一对象前后测，并附 Wilcoxon 符号秩检验。

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本模型一次分析会同时输出「配对样本 t 检验」与「Wilcoxon 符号秩检验」两部分结果，下面分别说明。

1. 配对样本 t 检验

方法概述

（1）配对样本 t 检验用于比较同一对象在两个时间点、两种条件或两种测量方式下的平均差异。它不是把两列数据当作两个独立群体，而是先对每个对象计算差值，再检验平均差值是否显著偏离零。

（2）常见问题包括：培训前后成绩是否变化、干预前后满意度是否变化、同一受试者在两种条件下的反应时间是否不同、匹配样本的两次测量是否存在差异。

适用问题与不适用问题

适用问题

两列数值来自同一批对象的一一对应测量；
每一对观测可以明确匹配；
研究问题关注两个条件的平均变化；
差值变量大致服从正态分布，或样本量足以支持近似推断。

不适用或需要改用其他方法的情况

两列数据来自不同对象：使用独立样本 t 检验；
差值严重偏态、样本很小或存在明显异常值：考虑 Wilcoxon 符号秩检验；
同一对象有三个或更多时间点：考虑重复测量方差分析或混合效应模型；
配对关系不明确或行顺序被打乱：不能直接进行配对分析。

配对的关键不是“两列长度相同”，而是第 i 行的前测和后测确实属于同一个对象。

数据结构和输入要求

数据至少包含一个对象标识列和两列测量变量：

编号	干预前	干预后
1	62	70
2	75	76
3	68	73

“干预前”和“干预后”都应是数值变量。两列的单位、量表范围和方向应一致；如果分数越高表示结果越差，也要在解释中保持一致。

缺失值应按成对方式处理：某一对象缺少前测或后测时，该对象不能用于这一对比较。不要把前测和后测分别删除不同的行后再强行配对。

分析流程

差值和检验统计量

设有 (n) 个完整配对，第 (i) 个对象的前测为 (X_i)，后测为 (Y_i)。若定义“后测减前测”为差值，则：

D_i=Y_i-X_i. \tag{1.1}

差值均值为：

\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}D_i. \tag{1.2}

差值样本标准差为：

s_D=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(D_i-\bar{D})^2}. \tag{1.3}

差值均值的标准误为：

SE_{\bar{D}}=\frac{s_D}{\sqrt{n}}. \tag{1.4}

检验“平均差为零”的 t 统计量为：

t=\frac{\bar{D}-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt{n}}, \tag{1.5}

通常 (mu_{D,0}=0)，自由度为：

df=n-1. \tag{1.6}

假设为：

H_0:\mu_D=0, \qquad H_1:\mu_D\ne0. \tag{1.7}

双侧 p 值为：

p=2P\left(T_{n-1}\ge |t|\right). \tag{1.8}

置信区间和效应量

平均差的 (100(1-\alpha)\%) 置信区间为：

\bar{D}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s_D}{\sqrt{n}}. \tag{1.9}

配对设计常用的标准化效应量为：

d_z=\frac{\bar{D}}{s_D}. \tag{1.10}

它表示平均变化相对于差值标准差的大小。效应量的正负取决于差值定义，不能脱离“后测减前测”或“前测减后测”的方向单独解释。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：配对样本t检验、Wilcoxon符号秩检验、描述性统计、相关矩阵、相关显著性、显著性标记、缺失值报告。

示例（来自系统结果包，示例数据）。

配对样本t检验表：

前测变量	后测变量	n	前测均值	后测均值	均值差	t	df	p	配对效应量
前测得分	后测得分	120	2.9528	3.287083	0.334283	7.3513	119	<0.001	0.671082

Wilcoxon符号秩检验表：

前测变量	后测变量	非零配对数	W	z	p	效应量r
前测得分	后测得分	120	1258.5	6.2107	<0.001	0.566953

至少应查看：

前测和后测的有效样本量、均值和标准差；
平均差、差值标准差、t 值、自由度和 p 值；
平均差的置信区间和效应量；
前后测连线图或差值分布图。

连线图能显示每个对象的变化方向，平均值图只能显示总体平均变化。若个体变化方向很不一致，应同时报告离散程度，而不能只报告平均值。

结果表述边界

可以表述为：“配对 t 检验显示，干预后得分较干预前平均增加 (\Delta=...)，(t(df)=...，p=...)，效应量 (d_z=...)。”

如果数据来自观察性前后测，不能仅凭显著的平均变化断言变化完全由干预导致，还应考虑时间趋势、测量效应和其他共同因素。

常见问题

把前测和后测当作独立组：会忽略同一对象的配对信息，统计效率和解释都不正确。
交换差值方向后认为结果变了：t 值和差值符号会改变，但双侧 p 值通常不变。
只比较两列均值不做差值分析：配对检验的核心是每个对象的差值。
前后测行顺序不一致：会产生错误配对，必须使用对象编号或明确匹配关系。

2. Wilcoxon 符号秩检验

方法概述

（1）Wilcoxon 符号秩检验是配对样本 t 检验的非参数替代方法，用于比较同一对象在两个条件下的变化。它先计算每对观测的差值，再根据差值的绝对大小排序，并综合差值方向判断变化是否系统地偏向正向或负向。

（2）它适合前后测差值明显偏态、样本量较小、量表具有等级性质，或异常值使均值方法不够稳健的情况。

适用问题与不适用问题

适用情形：

两列观测一一对应，来自同一对象或匹配对象；
结果至少具有可排序的等级信息；
研究问题关注配对差异的方向和位置变化；
差值分布不适合直接使用配对 t 检验。

不适用情形：

两组完全独立：考虑 Mann-Whitney U 检验；
三个或更多配对条件：考虑 Friedman 检验；
变量是没有顺序的类别；
配对关系不清楚或行顺序无法对应。

Wilcoxon 检验通常检验的是配对差值分布是否以零为中心。在分布形态近似对称时，可以近似解释为配对位置或中位数差异；分布严重不对称时，不宜简单地把它写成“中位数一定发生了差异”。

数据结构和输入要求

编号	测量一	测量二
1	3	4
2	5	5
3	2	4

两列数据必须是同一对象的两次测量或匹配对象的两次测量。先排除任一测量缺失的配对，再处理差值。

差值为零的配对通常不参与正负秩和，但应记录零差值数量，因为零差值较多会减少有效的非零配对数。

分析流程

秩和计算公式

设第 (i) 对观测的差值为 (D_i=Y_i-X_i)。去除 (D_i=0) 的配对后，剩余非零差值数量记为 (n')。对 (|D_i|) 从小到大排序，得到秩 (R_i)，并对并列绝对差值使用平均秩。

正差值和负差值的秩和分别为：

W^+=\sum_{D_i>0}R_i, \qquad W^-=\sum_{D_i<0}R_i. \tag{2.1}

常见的检验统计量为较小的秩和：

W=\min(W^+,W^-). \tag{2.2}

在样本量较大时，可以使用正态近似。若无并列和零差值，正秩和的期望和方差为：

E(W^+)=\frac{n'(n'+1)}{4}, \tag{2.3}

\operatorname{Var}(W^+)=\frac{n'(n'+1)(2n'+1)}{24}. \tag{2.4}

相应的标准化统计量可写为：

Z=\frac{W^+-E(W^+)}{\sqrt{\operatorname{Var}(W^+)}}. \tag{2.5}

实际计算存在并列秩、连续性校正和精确概率等处理，结果表应以实际采用的方法为准，不能手工套用无并列的简化式。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：Wilcoxon符号秩检验。

建议报告：

两次测量的中位数和四分位数；
完整配对数、零差值数和非零差值数；
正秩和、负秩和或检验统计量；
Z 值或其他统计量、p 值；
变化方向和必要的效应量。

箱线图适合展示两次测量的位置和离散程度，配对连线图适合展示每个对象的变化方向。仅看两次中位数，无法显示每一对观测是否同向变化。

结果表述边界

可以表述为：“Wilcoxon 符号秩检验显示，测量二相对于测量一的配对差异具有统计学意义，(Z=...，p=...)。非零差值中正向秩和高于负向秩和，说明整体变化主要向正方向。”

在没有对称分布依据时，应使用“配对位置分布存在差异”或“差值方向存在系统性变化”，不要把所有显著结果都直接写成“中位数差异”。

常见问题

把独立样本用于符号秩检验：配对结构不成立时，结果没有正确解释。
忽略零差值和并列秩：会影响有效样本量和 p 值。
把 Wilcoxon 和 Mann-Whitney 混淆：前者用于配对数据，后者用于独立组。
只说显著不说方向：应结合正负秩和、差值定义和原始变量含义解释。