组间比较 · 004

独立样本 t 检验（含 Mann-Whitney U）

比较两组独立样本均值，并附 Mann-Whitney U 非参数结果。

进入一键分析

本模型一次分析会同时输出「独立样本 t 检验」与「Mann-Whitney U 检验（非参数替代）」两部分结果，下面分别说明。

1. 独立样本 t 检验

方法概述

（1）独立样本 t 检验用于比较两个相互独立的群体在某个数值指标上的平均水平是否存在统计差异。

它回答的是：

两组观测对象在某个结果变量上的平均值，是否存在超出随机波动范围的差异？

例如，可以比较：

男生与女生的满意度平均分是否不同；
使用某种服务与未使用该服务的用户，购买意愿平均分是否不同；
实验组与对照组的成绩平均分是否不同；
两种方案下的平均等待时间是否不同。

（2）独立样本 t 检验比较的是两组均值，不是两个变量之间的相关性，也不是同一批对象前后两次测量的比较。同一对象在干预前后的得分，应使用配对样本 t 检验或 Wilcoxon 符号秩检验。

适用问题与不适用问题

适用问题

独立样本 t 检验适合以下情形：

研究对象可以明确分成两个互斥组；
两组中的观测对象相互独立；
结果变量是数值变量，或是由多道同方向量表题计算得到的维度得分；
研究问题关注两组平均水平的差异；
每组有足够的有效观测值，且结果变量不是完全没有变化。

常见的两组变量形式包括“是否参加培训”“是否使用产品”“实验组/对照组”“男/女”等。但分组变量的类别含义必须明确，不能把用户编号、随机编码或没有实际含义的数字列当作分组变量。

不适用或需要改用其他方法的情况

以下情况不应直接使用独立样本 t 检验：

分组变量有三组或更多组：通常考虑单因素方差分析；
同一对象有前测和后测：考虑配对样本 t 检验或 Wilcoxon 符号秩检验；
两个变量都是无序分类变量：考虑卡方检验；
结果变量是严格的二分类结果：考虑二元 Logistic 回归；
两组并非相互独立，例如配对个体或匹配样本：不能按普通独立组处理；
结果变量明显为等级数据、严重偏态或含有大量异常值：应同时参考 Mann-Whitney U 检验，必要时优先使用非参数方法；
分组变量只有一个有效类别，或某一组没有足够有效数值：无法进行两组比较。

不要为了使用 t 检验而把三组或更多组强行合并成两组。合并分组会改变研究问题，也可能掩盖真实的组间差异。

数据结构和输入要求

基本数据结构

数据应按“每行一个观测对象、每列一个变量”整理。最少需要一列分组变量和一列结果变量。

编号	分组	满意度得分
1	实验组	4.2
2	对照组	3.6
3	实验组	4.0
4	对照组	3.2

其中：

“分组”必须只有两个有实际意义的类别；
“满意度得分”应为数值变量或明确的维度得分；
每一行只能代表一个独立观测对象；
编号列只用于识别记录，不应作为结果变量。

分组变量

分组变量可以是文字，也可以是数字编码。例如“实验组/对照组”或“1/0”。如果使用数字编码，应保留编码含义，明确 0 和 1 分别代表哪一组。

不能把有序的年级、收入区间或满意度等级未经判断地当作二分类分组。若实际研究包含多个等级，应根据研究问题选择方差分析、趋势分析或其他适合的方法。

结果变量

结果变量可以是：

测量得到的连续数值，如成绩、金额、时长；
多道同一维度题项计算出的平均分或总分；
在研究设计允许的情况下，按近似连续变量处理的量表得分。

如果结果变量来自问卷，应先确认反向题已经按量表范围统一方向，再计算维度得分。不能把性别、专业、地区名称、编号等分类或识别变量当作均值比较的结果变量。

样本和有效值

每组应至少有足够的有效数值，不能只有一个有效观测。分析使用的是分组变量和结果变量同时有效的记录，因此两组的有效样本量可能与原始数据总行数不同。

开始分析前应检查：

分组是否确实只有两个类别；
两组名称是否有空白、拼写不一致或隐藏空格；
结果变量是否为数字，特殊缺失值是否已识别；
两组是否都有足够的有效观测；
两组的结果变量是否存在变异；
两组是否确实来自相互独立的观测对象。

分析流程

两组均值不同并不自动表示差异具有统计显著性；p 值显著也不自动表示差异具有实际重要性。结果解释需要同时查看均值差、样本量、p 值、效应量和数据分布。

指标定义与计算公式

设第一组有 $n_1$ 个有效观测，第二组有 $n_2$ 个有效观测，结果变量分别记为：

x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n_1} \tag{1.1}

和

x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n_2}. \tag{1.2}

两组均值

第一组和第二组的样本均值分别为：

\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_{1i}, \qquad \bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}x_{2i}. \tag{1.3}

均值差按第一组减第二组计算：

\Delta=\bar{x}_1-\bar{x}_2. \tag{1.4}

如果 $\Delta>0$ ，说明按照当前组别顺序第一组均值更高；如果 $\Delta<0$ ，说明第二组均值更高。改变组别顺序会改变差值和 t 值的正负，但不会改变双侧检验的 p 值。

两组标准差

两组样本标准差分别为：

s_1=\sqrt{\frac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1}(x_{1i}-\bar{x}_1)^2}, \tag{1.5}

s_2=\sqrt{\frac{1}{n_2-1}\sum_{i=1}^{n_2}(x_{2i}-\bar{x}_2)^2}. \tag{1.6}

标准差描述每组内部的波动程度。它不是两组均值差，也不能单独用来判断两组是否显著不同。

均值差的标准误

当不强行假设两组方差相等时，均值差的标准误为：

SE_{\Delta}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}. \tag{1.7}

标准误越小，表示在当前样本量和组内波动下，均值差的估计通常越稳定。

Welch t 统计量

独立样本 t 统计量为：

t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}. \tag{1.8}

分子是两组均值差，分母是均值差的标准误。绝对值越大，表示均值差相对于抽样波动越大。

Welch-Satterthwaite 自由度

当两组方差可能不同，使用 Welch 自由度校正：

df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+ \frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}. \tag{1.9}

这个自由度可以不是整数。它反映了两组样本量和组内方差对推断精度的共同影响。

双侧 p 值

在原假设“两组总体均值相等”成立时，双侧 p 值为：

p=2P\left(T_{df}\ge |t|\right). \tag{1.10}

常见假设为：

H_0:\mu_1=\mu_2, \tag{1.11}

H_1:\mu_1\ne\mu_2. \tag{1.12}

如果 $p<0.05$ ，通常称两组均值差异达到统计显著；如果 $p\ge0.05$ ，只能说当前样本没有提供足够证据拒绝均值相等的原假设，不能说“两组完全相同”。

方差齐性检验与 Welch 校正

Levene/Brown-Forsythe 检验的作用

方差齐性检验用于判断两组结果变量的离散程度是否存在明显差异。其原假设通常为：

H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2. \tag{1.13}

解读时应注意：

方差齐性检验 (p\ge0.05)：没有足够证据认为两组方差不同，不等于已经证明方差完全相等；
方差齐性检验 (p<0.05)：提示两组方差可能不齐，应优先关注 Welch 校正结果；
方差齐性检验本身不是均值差异检验，不能用它代替 t 检验。

结果中可能会同时给出 Levene 或基于中位数的 Brown-Forsythe 方差齐性信息。它们的目的都是帮助判断组内波动是否相近。

为什么使用 Welch 方法

传统等方差 t 检验要求两组总体方差相等。现实数据中，两组样本量和波动程度可能不同。Welch 方法不要求两组方差完全相等，并通过调整标准误和自由度降低方差不齐带来的影响。

因此，实际阅读结果时，尤其当方差齐性检验提示不齐时，应以 Welch t、Welch 自由度和对应的 p 值为主要依据，而不是自行套用等方差公式。

效应量：Cohen's d

统计显著性受样本量影响，不能代替差异大小。Cohen's d 用标准差单位表示两组均值差：

合并标准差

s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}. \tag{1.14}

Cohen's d

d=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p}. \tag{1.15}

(d) 的正负表示差异方向，绝对值表示差异相对于组内波动的大小。常见的初步参考为：

(	d	)	初步理解
约 0.20	较小差异
约 0.50	中等差异
约 0.80	较大差异

这些区间不是所有学科都适用的硬性标准。应结合量表范围、实际业务意义和研究领域解释。例如，量表上 0.2 个标准差的变化是否重要，不能只看一个阈值决定。

Mann-Whitney U 作为非参数辅助方法

当结果变量是等级数据、分布明显偏态、异常值较多或 t 检验的分布假设难以接受时，可以同时参考 Mann-Whitney U 检验。它主要比较两组观测的秩次分布，不直接检验两组均值。

结果可能包括：

U 统计量；
标准化统计量 (z)；
双侧 p 值；
两组中位数；
秩二列相关或 (r) 形式的效应量。

Mann-Whitney U 显著时，更稳妥的表述是“两组的分布或秩次位置存在差异”，不应直接写成“两组均值存在显著差异”。当两组分布形状相近时，才可以把它近似理解为位置或中位数差异的证据。

如果 t 检验与 Mann-Whitney U 的结论不一致，应检查异常值、偏态程度、组内分布、样本量和结果变量的测量尺度，不要简单挑选更符合预期的结果。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：独立样本t检验、组间检验假设、Mann-Whitney检验、描述性统计、相关矩阵、相关显著性、显著性标记、缺失值报告、频数统计、Spearman相关、Spearman显著性、Spearman显著标记（Spearman 三项在标准模板下输出）。

示例（来自系统结果包，示例数据）。

独立样本t检验表：

组别1	组别2	结果变量	t	df	p	组别1均值	组别2均值	Cohen's d	是否齐性
对照组	实验组	结果得分	4.1352	97.872	<0.001	3.3724	2.9764	0.827	是
对照组	实验组	满意度	3.5977	97.426	<0.001	3.4628	3.0136	0.7195	是

两组描述统计表

首先查看每组的有效样本量、均值和标准差：

分组	有效样本量	均值	标准差
第一组	$n_1$	$\bar{x}_1$	$s_1$
第二组	$n_2$	$\bar{x}_2$	$s_2$

这张表说明差异发生在哪个方向、每组有多少观测以及组内波动多大。它本身不提供显著性判断。

独立样本 t 检验表

重点查看：

两组均值（及其差值方向）；
$t$ 值和自由度 $df$ ；
双侧 $p$ 值；
Cohen's d；
两组有效样本量。

建议同时报告均值和标准差，不要只报告“显著/不显著”。例如：

实验组满意度为 $M=4.21$ ， $SD=0.51$ ；对照组为 $M=3.78$ ， $SD=0.64$ 。Welch 独立样本 t 检验显示，两组满意度差异显著， $t(df)=...，p=...，d=...$ 。

其中 $M$ 表示均值， $SD$ 表示标准差，括号中的数值应替换为结果表中的实际数值。

方差齐性表

方差齐性表用于补充说明两组波动是否相近。不能把“方差齐性显著”写成两组均值显著，也不能把 $p\ge0.05$ 写成“证明方差相等”。方差不齐时，应明确说明采用 Welch 校正解释均值比较。

Mann-Whitney U 表

如果数据同时提供非参数辅助结果，应查看 $U$ 、 $z$ 、 $p$ 、两组中位数和效应量。它主要用于判断两组秩次分布是否存在差异，解释角度与 t 检验不同。

组间箱线图

箱线图可以观察：

两组中位数的位置；
中间 50% 观测值的范围；
两组离散程度是否不同；
是否存在明显偏态或极端值。

箱线图中的视觉差异不能替代 p 值，p 值也不能替代对分布和异常值的检查。最终应把表格和图形结合起来阅读。

系统结果包中的实际图形（示例数据）：

有真实数据时的使用步骤

明确研究问题是比较哪两个独立群体。
准备数据，确认每行是一个独立观测对象。
指定只有两个类别的分组变量。
指定需要比较的数值结果变量或维度得分。
检查反向题、特殊缺失值、异常值和两组样本量。
先阅读两组描述统计，确认均值、标准差和方向。
查看方差齐性信息，并关注 Welch t 检验结果。
同时查看 Cohen's d，判断差异的实际大小。
如果数据为等级或明显偏态，结合 Mann-Whitney U 和箱线图判断。
报告两组的 $n$ 、均值、标准差、 $t$ 、 $df$ 、 $p$ 和效应量，不把结果写成因果证明。

常见问题

两组均值不同，为什么 p 值不显著？

均值差是否显著还取决于两组样本量、组内波动和均值差的相对大小。样本量小或组内波动大时，即使均值不同，也可能没有足够证据拒绝均值相等的原假设。

p 值显著，是否说明差异很大？

不一定。样本量较大时，很小的差异也可能显著。应同时查看均值差、Cohen's d、量表范围和实际意义。

方差齐性不满足，是否不能做 t 检验？

不必然。方差不齐时，应关注 Welch 校正的 t 检验结果，并结合两组样本量、分布和效应量解释。若结果变量是等级数据或严重偏态，还应参考 Mann-Whitney U。

为什么结果显示的是 Welch 自由度？

Welch-Satterthwaite 方法可以在两组方差不完全相等、样本量不平衡时提供更稳健的自由度估计，因此自由度可能不是整数。

为什么不能用独立样本 t 检验比较三个年级？

独立样本 t 检验只比较两组。三个年级属于三组比较，应考虑单因素方差分析；若分布和测量尺度不适合参数方法，可考虑 Kruskal-Wallis 检验。

前测和后测可以做独立样本 t 检验吗？

如果前测和后测来自同一批对象，两个测量值是配对的，应使用配对样本 t 检验或 Wilcoxon 符号秩检验。只有当两次测量来自互不重叠的独立对象时，才可以视为独立组比较。

为什么 t 检验和 Mann-Whitney U 的结论不同？

两者检验的对象不同：t 检验关注均值，Mann-Whitney U 关注秩次分布。异常值、偏态、等级数据、并列值和样本量都可能造成不同结果。应根据研究问题、数据尺度和分布选择主要方法，并如实报告差异。

结果表述边界

可以表述：

独立样本 t 检验显示，实验组的满意度均值高于对照组，且均值差异达到统计显著；Cohen's d 表明差异大小为……。

也可以表述：

当前样本中两组均值存在差异，但该差异未达到预先设定的统计显著性水平，尚不足以支持总体均值存在差异的判断。

不应仅凭一次 t 检验写成：

实验措施导致满意度提高。

独立样本 t 检验本身不能证明因果关系。因果解释还需要考虑随机分组、研究设计、混杂变量、测量质量和结果的可重复性。

与其他模型的关系

模型	与独立样本 t 检验的区别
描述性统计	先描述各组的样本量、均值、标准差和分布，不检验均值差异
配对样本 t 检验	比较同一对象或匹配对象的两次测量
Wilcoxon 符号秩检验	配对数据的非参数比较方法
Mann-Whitney U 检验	两个独立组的非参数比较，关注秩次分布
单因素方差分析	比较三个或更多独立组的均值
Kruskal-Wallis 检验	三个或更多独立组的非参数比较
Pearson 相关	分析两个数值变量的线性关联，不比较组均值
线性回归	研究一个或多个变量对连续结果的预测关系
Logistic 回归	研究一个或多个变量对二分类结果的预测关系

选择模型时，先看研究问题是“比较两组”“比较多组”“比较前后变化”“分析变量关联”还是“进行预测”，再决定方法。

2. Mann-Whitney U 检验（非参数替代）

方法概述

（1）Mann-Whitney U 检验用于比较两个相互独立的群体在数值或等级结果上的位置分布。它是独立样本 t 检验的非参数替代方法，先把两组观测合并排序，再比较两组获得的秩次是否系统不同。

（2）它常用于结果变量为等级数据、分布明显偏态或异常值较多的情况。若两组分布形态相近，它可以近似回答“两组位置或中位数是否不同”；如果两组分布形态差异很大，显著结果可能来自离散程度或整体分布形状的差异，不能简单解释为中位数差异。

适用问题与不适用问题

适用问题

两组观测对象相互独立；
结果变量至少具有可排序的等级信息；
研究关注两组的整体位置或秩次分布；
数据不满足 t 检验的近似条件，或希望采用更稳健的比较方法。

不适用情况

同一对象前后测：使用 Wilcoxon 符号秩检验或配对 t 检验；
三个或更多独立组：考虑 Kruskal-Wallis 检验；
结果变量是没有顺序的分类变量：不能直接排序，考虑卡方检验；
两组定义依赖结果变量本身：可能产生循环分组或选择偏差。

数据结构和输入要求

编号	组别	评价等级
1	A组	4
2	B组	2
3	A组	5
4	B组	3

分组变量必须只有两个有效类别，结果变量可为数值或有序等级。每个观测只能属于一个组，不能同时属于两组。

合并排序时，结果相同的观测使用平均秩。缺失值不参与该变量对的计算，并应报告两组的有效样本量。

分析流程

U 统计量公式

设第一组样本量为 (n_1)，第二组样本量为 (n_2)，第一组秩和为 (R_1)，第二组秩和为 (R_2)。两组 U 统计量为：

U_1=n_1n_2+\frac{n_1(n_1+1)}{2}-R_1, \tag{2.1}

U_2=n_1n_2+\frac{n_2(n_2+1)}{2}-R_2. \tag{2.2}

检验通常使用：

U=\min(U_1,U_2). \tag{2.3}

在无并列时，(U) 的期望和方差为：

E(U)=\frac{n_1n_2}{2}, \tag{2.4}

\operatorname{Var}(U)=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}. \tag{2.5}

大样本时可使用正态近似：

Z=\frac{U-E(U)}{\sqrt{\operatorname{Var}(U)}}. \tag{2.6}

存在并列值时，方差需要进行并列校正；小样本时优先使用精确 p 值。结果表中的统计量和 p 值应以实际计算方法为准。

效应量和解释

仅报告 p 值不能说明组间差异大小。大样本近似下，可以使用：

r=\frac{|Z|}{\sqrt{N}}, \tag{2.7}

其中 (N=n_1+n_2)。也可以报告概率优势（common language effect size），即随机抽取一名第一组对象和一名第二组对象时，第一组结果高于第二组结果的概率，并说明方向和处理并列的规则。

Mann-Whitney 显著并不一定表示两组均值不同。应结合中位数、四分位数、箱线图和两组分布形态解读。

结果表格和图形的阅读方法

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：Mann-Whitney检验；另含 描述性统计 等基础表。

结果表建议包含两组的有效样本量、中位数、四分位数、秩均值或秩和、U、Z、p 值和效应量。箱线图可以显示中位数、四分位距和异常值；如果两组分布形状明显不同，应在说明中指出。

结果表述边界

可以表述为：“Mann-Whitney U 检验显示，两组评价等级的秩次分布存在差异，(U=...，Z=...，p=...)。结合中位数和四分位数，A 组的结果整体高于 B 组。”

不要把它自动写成“组别导致结果变化”。观察性独立组比较通常只说明组间分布差异，不能单独证明因果关系。

常见问题

把等级编码当作等距连续变量并只报告均值：应同时查看中位数和秩次结果。
把配对数据用于 Mann-Whitney：应使用 Wilcoxon 符号秩检验。
忽略并列值校正：问卷等级数据经常有并列，不能套用无并列公式。
只看到 p 值显著就说中位数不同：先确认两组分布形态是否相近。