分类分析 · 007

卡方检验

检验两个分类变量是否相互关联。

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1. 方法概述

（1）卡方检验用于分析分类变量之间的关联，或检验一个分类变量的观察频数是否符合预期比例。独立性检验回答的是：不同类别的分布，是否会随着另一个分类变量的类别而发生系统变化。

（2）例如，可以分析性别与是否购买、年级与课程选择、地区与满意度等级之间是否有关联。卡方检验比较的是频数分布，不是均值差异，也不能单独证明因果关系。

独立性检验需要两个分类变量，并把观测频数整理成列联表。原假设是两个分类变量相互独立，备择假设是二者存在统计关联。

拟合优度检验只需要一个分类变量和一组理论比例。例如，检验四种选项是否符合相同比例。需要在分析前明确理论比例，不能把样本频数本身当作预期比例。

数据可以按原始记录保存，也可以直接整理成列联表。原始记录示例如下：

程序统计的是每个“行变量类别 × 列变量类别”的频数。类别名称应统一，空白、大小写差异或前后空格可能被误认为不同类别。缺失值通常不进入有效列联表，应报告有效样本量。

设列联表有 $r$ 行和 $c$ 列，单元格 $(i,j)$ 的观察频数为 $O_{ij}$ 。第 $i$ 行总数为 $O_{i+}$ ，第 $j$ 列总数为 $O_{+j}$ ，总样本量为 $N$ 。在两个变量独立的假设下，期望频数为：

E_{ij}=\frac{O_{i+}O_{+j}}{N}. \tag{5.1}

Pearson 卡方统计量为：

\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}. \tag{5.2}

自由度为：

df=(r-1)(c-1). \tag{5.3}

原假设和备择假设为：

H_0:\text{两个分类变量相互独立}, \tag{5.4}

H_1:\text{两个分类变量存在关联}. \tag{5.5}

当 p 值小于预先设定的显著性水平时，说明观察频数与独立性假设下的期望频数存在统计上显著的偏离。

Pearson 残差为：

e_{ij}=\frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}. \tag{6.1}

残差为正表示该单元格的观察频数高于独立性假设下的期望频数，残差为负表示低于期望频数。分析多个单元格时，应结合调整后残差及多重比较问题，不能只挑选绝对值最大的一个单元格。

列联表常用 Cramér's $V$ 描述关联强度：

V=\sqrt{\frac{\chi^2}{N\min(r-1,c-1)}}. \tag{6.2}

对于 $2\times2$ 列联表，也可以报告 Phi 系数：

\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N}}. \tag{6.3}

效应量表示关联强度，不代表因果方向。具体大小应结合表格维度、样本量和研究背景解释，不能机械套用单一阈值。

Pearson 卡方近似依赖期望频数不能过小。若有较多单元格的期望频数很低，卡方近似的 p 值可能不稳定。此时可以：

合并类别必须有研究含义，不能为了让 p 值显著而任意合并。

系统输出的工作表（analysis_tables.xlsx）：卡方检验、卡方列联表、卡方期望频数、描述性统计、缺失值报告、频数统计；卡方模型**不输出**相关矩阵。

示例（来自系统结果包，示例数据）。

卡方检验表：

自变量	因变量	χ²	df	p	Cramér's V	n	假设是否满足
性别	是否购买	0.0267	1	0.867433	0.013333	150	是

卡方列联表表：

行类别	否	是	行合计
女	38（37.50）	37（37.50）	75
男	37（37.50）	38（37.50）	75

建议查看：

可以表述为：“卡方独立性检验显示，性别与是否购买存在统计关联， $\chi^2(df)=...，p=...$ ，Cramér's $V=...$ 。从列联表看，女性组的购买比例为...，男性组为...。”

不能只写“性别影响购买行为”。横断面列联表通常只能说明关联，因果结论需要实验或纵向研究设计支持。